A2. ReglersystemGrundläggande teori | 1999-05-23 Till innehåll |
Teorin för reglersystem används för att analysera dynamiska system. Det behöver inte gälla ett reglerproblem, alla dynamiska system kan analyseras. Konstruktion av regulatorer och återkopplingar utgör bara en del av teorin.
Samma teori kan användas för att analysera de ekonomiska
kretsloppen. Genom att öka abstraktionsnivån undviker
man att helheten skyms av alla detaljer.
Teorin beskrivs i ett flertal böcker, nedan citeras bara en som används vid flera universitet, bland dem Linköpings tekniska högskola.
Begreppet tillstånd beskrivs i boken Reglerteknik, ref. (1) kap 8.1, sid 137:
"Ett dynamiskt system karakteriseras av att utsignalens värde nu, y(t), inte bara beror på insignalens värde nu, u(t), utan också på (tidigare insignaler) u(s), s<t. Detta innebär alltså, att vi inte kan förutsäga effekten av den insignal vi väljer, såvida vi inte har ytterligare information om systemet vid tiden t (t ex u(s), s<t). … Information om systemet vid tiden t, sådan att man med dess hjälp kan förutsäga effekten av en pålagd insignal u(t), t >= t kallar vi systemets tillstånd vid tiden t. Tydligen är {u(s), s<t} en sådan informationsmängd. Den är emellertid otymplig att hantera, och man skulle önska en mera koncis beskrivning av tillståndet."
Kursivering = mitt tillägg.
Ett förklarande exempel ges i ref. (1) kap 8.2, sid 138:
"Betrakta ett system som beskrivs av
| dy(t)/dt + a*y(t) = b*u(t). | ekv (8.1) |
Antag att vi konfronteras med systemet vid tiden t0, utan att känna till vad som hänt före denna tidpunkt. Från uttrycket
| dy(t)/dt = -a*y(t) + b*u(t). | ekv (8.1´) en term flyttad. |
ser vi att om vi känner till y(t0) och u(t), t
>= t0 så kan y(t), t >= t0 beräknas.
Alltså är y(t0) ett tillstånd för
systemet vid tiden t0."
I teorin för differentialekvationer kallas y(t0)
för begynnelsevärde. För detta enkla system måste
man känna till ett värde = en tillståndsvariabel
för att kunna beräkna det vidare förloppet.
Ekvation (8.1´) kan beskrivas grafiskt med nedanstående figur:
Bild A2.1:1 Återkopplat system med en variabel. (1/s) betyder integration.
Om man ritar bilden lite mer schematiskt så ser figuren ut så här:
Bild A2.1:2 Förenklad bild av återkopplat system.
Ett mera allmänt system med flera variabler kan beskrivas med ekvationssystemet:
| dy(t)/dt = A y(t) + B u(t) | ekv. (8.6) |
I detta fall är u(t) och y(t) vektorer. A och B är matriser. u(t) är insignalerna till systemet, y(t) är tillståndsvektorn. Förenklat från ref (1) sid 140. En bild av detta system ser ut så här:
Bild A2.1:3 Återkopplat system med flera variabler.
Dynamiska modeller av ekonomiskt kretslopp kan beskrivas med samma formalism. Det tillkommer ett antal egenskaper. Ekonomiska system kan oftast bara observeras vid vissa tidpunkter därför att statistik bara utarbetas vid månadsskiften, kvartalsslut, halvårsskiften eller helår. På så vis blir systemet inte ett tidskontinuerligt system utan ett samplat. För det andra finns ett stort antal variabler X(t) som vid varje tidpunkt är statiskt bestämda. Sambanden blir:
| Högerled | H.l = A Y(t) + B U(t) | ekv. (A2:1) |
| Statiska ekvationer | S(p) X(t) = H.l. | ekv. (A2:2) |
| Korrektion till tillståndsvariablerna | DY(t) = C X(t) | ekv. (A2:3) |
| Dynamiska ekvationer | Y(t+1) = Y(t) + DY(t) | ekv. (A2:4) |
S(p) är systemmatrisen som bestämmer det statiska läget av alla flöden X(t) då tillståndsvariablerna Y(t) och insignalerna U(t) är givna. Matrisen S(p) beror av ett antal parametrar p(t) som också kan vara olika från sampel till sampel. Insignalerna U(t) är extensiva storheter, flöden. Parametrarna p(t) är intensiva storheter som inte beror av systemets storlek utan bara bestämmer fördelningen mellan olika flöden.
Matriserna A och B bygger upp högerledet H.l. genom att tillsammans skapa en kolumnvektor av elementen i Y(t) och U(t). De bestämmer storleken av ekonomin, t.ex. produktionens storlek eller antal anställda.
Dynamiken i systemet kommer av att Y(t) ändras till nästa sampel. Ändringens storlek beror på ett antal av flödena X(t) som väljs ut av matrisen C.
Sambanden avbildas i figuren:
Bild A2.2:1 Dynamiskt återkopplat ekonomiskt system.
De statiska variablerna X(t) kan beräknas genom lösning
av ekvationssystemet S(p) X(t) = H.l.
I bilden finns också en ekvivalent formulering där
X(t) uttrycks explicit med hjälp av inversen S(p)-1
till systemmatrisen.
En ännu mer schematisk bild av systemet ser ut så här:
Bild A2.2:2 Förenklad bild av det återkopplade ekonomiska systemet.
Vid varje tidpunkt kan U(t), Y(t) och p(t) anses vara givna. Då kan flödena X(t) bestämmas som för ett statiskt system. Vid tidsintervallets slut har vissa tillgångar (antal anställda, saldon) ändrats, detta uttrycks genom tillskotten DY(t). Nästa sampels tillgångar har något andra värden Y(t+1). Under tidsintervallet t+1 kan man ha nya insignaler U(t+1) och nya parametrar p(t+1) som ger nya flöden X(t+1). För att starta beräkningen så måste man känna till (de endogent givna) tillstånden Y(t0) under det första tidsintervallet t0. U(t) och p(t) är exogent givna för alla tidpunkter.
Konstruktion av tidskontinuerliga dynamiska modeller beskrivs i (2) Modellbygge och simulering. Där kan man också hitta metoder för parameteridentifiering.
Avancerade metoder för analys av flervariabla system finns i (3) Multivariable feedback design. Där beskrivs främst metoder för att avgöra systemens stabilitet och att konstruera optimala återkopplingar. Metoderna är inte omedelbart nödvändiga för de problem som vi studerar, dock ger boken en allmän förståelse för återkopplade system.
Samplade system beskrivs i (4) Digital Signal Processing. Där visas vilka konsekvenserna blir om man bara observerar systemet vid vissa tidpunkter, t.ex. varje årskifte eller varje kvartal. Där visas också hur man behandlar system med tidsfördröjningar och hur man ritar grafer för digitala filter. Alla system med tidsdiskreta in- och utdignaler kan betraktas som digitala filter.
Litteraturen om reglerteori är omfattande, det går
säkert att hitta andra böcker med motsvarande innehåll.
Åter till hemsida eller innehållsförteckning.